Problemas Elípticos Envolvendo Pesos com Sinal Indefinido

O presente projeto de pesquisa tem como objetivo principal a aplicação da Teoria de Métodos Variacionais a problemas elípticos que envolvem funções peso com sinal indefinido. Em outras palavras, busca-se estudar equações elípticas, via método variacional, com a presença de funções peso que podem mudar de sinal, representando um desafio significativo para a resolução desse tipo de problema. O presente projeto de pesquisa tem como objetivo principal o estudo de Equações Diferenciais Parciais Elípticas com a presença de pesos, empregando o método Variacional como abordagem teórica fundamental. As equações de interesse têm sua origem no estudo de equações na forma geral: \begin{equation}\label{EQAUTO} -\Delta u = f_\lambda(u) + g(u)\,\,\,\,\mbox{em}\,\,\Omega. \end{equation} Quando essas equações são colocadas na presença de funções peso, assumem a forma: \begin{equation}\label{EQNAOAUTO} -\Delta u = a(x)f_\lambda(u) + b(x)g(u)\,\,\,\,\mbox{em}\,\,\Omega. \end{equation} Em nossa pesquisa, a introdução das funções peso tem tanto um significado puramente matemático, como também um significado de natureza aplicada (no caso de problemas relacionados com a equação de difusão logística \cite{2CC}). A inclusão de funções peso na formulação (\ref{EQNAOAUTO}) introduz desafios técnicos significativos, os quais serão abordados nesta pesquisa. Alguns desses desafios incluem questões relacionadas à perda de compacidade do funcional associado ao problema (veja, por exemplo, \cite{1BreNir,1DH2,1FigGosUbiJEMS}), a determinação de espaços adequados para o estudo do problema (veja, por exemplo, \cite{1DH2}), bem como questões relacionadas ao comportamento do sinal das soluções (veja, por exemplo, \cite{1FigGosUbiJEMS,1FigGosUbiJFA03,1FigGosUbiJFA-pLaplace}). Em particular, em problemas com crescimento crítico, a perda de compacidade do funcional associado ao problema representa um obstáculo importante, bem como uma análise mais profunda no cálculo dos níveis para os quais o funcional associado tem a compacidade preservada (veja \cite{1FigGosUbiJEMS,1DH2}). Neste contexto, faz-se necessário determinar as hipóteses mais adequadas sobre os pesos de modo a estabelecer os resultados desejados. A referência \cite{1DH2} demonstra especificamente como a introdução de funções pesos pode demandar a definição de espaços mais adequados ao funcional relacionado com a equação. Além disso, é importante ressaltar que a equação na forma (\ref{EQNAOAUTO}) pode apresentar resultados distintos das equações (\ref{EQAUTO}). Por exemplo, em \cite{1AT1,1DH2}, diferentemente do caso estudado em \cite{1BreNir}, os autores demonstraram a existência de soluções para parâmetros $\lambda$ acima do primeiro autovalor do Laplaciano. Essas diferenças destacam a complexidade e importância do tema que escolhemos. Devido ao crescente interesse e relevância que a matemática aplicada vem ganhando nos últimos anos, uma parte significativa deste projeto está sendo direcionada para um problema aplicado. Nesse sentido, dedicaremos uma parte do projeto ao estudo de um problema com uma não linearidade do tipo logística, cuja origem remonta aos trabalhos \cite{2BIU,2CC,2DC,2IP,2T,2T2}. Especificamente, vamos considerar hipóteses sobre as funções pesos que até o momento não foram abordadas na literatura atual.