Estudo Teórico e Numérico da Estabilização de Sistemas Dinâmicos Hiperbólicos Dissipativos e Análise Matemática: Uma Abordagem Integrativa (Parte I).

Tal projeto investiga a estabilização de sistemas hiperbólicos dissipativos, com foco em modelos matemáticos de vigas planas, segundo as hipóteses de Timoshenko (1921, 1922), e vigas curvas, segundo as hipóteses de Bresse (Lagnese et al., 1994). A proposta busca desenvolver uma abordagem integrativa que combina teoria matemática rigorosa e métodos numéricos eficientes para a estabilização desses sistemas. Nesse contexto, o estudo busca entender a existência, unicidade e comportamento assintótico das soluções desses sistemas, bem como desenvolver métodos numéricos para sua simulação. Os sistemas hiperbólicos aparecem em diversas aplicações, como controle de vibrações estruturais, propagação de ondas acústicas e sísmicas e modelagem de tráfego rodoviário. Um dos principais objetivos do projeto é determinar as taxas de decaimento da energia nos sistemas analisados, seja exponencial ou polinomial, a fim de garantir a eficiência dos mecanismos de dissipação utilizados. Para isso, serão estudadas técnicas baseadas na teoria de semigrupos e no método da energia. Além da abordagem teórica, a pesquisa também terá uma vertente computacional, onde serão desenvolvidos algoritmos para simulação e controle dos sistemas estudados, empregando métodos de discretização de alta ordem, como diferenças finitas e elementos finitos. A validação dos modelos será realizada por meio de experimentos numéricos utilizando MATLAB e MAPLE. O projeto prevê a publicação de artigos científicos em revistas de alto impacto e a apresentação de resultados em conferências nacionais e internacionais. Além disso, busca contribuir para a formação de novos pesquisadores na área, promovendo seminários e estudos dirigidos para alunos de graduação e pós-graduação. A conexão entre estabilização teórica e análise numérica será um dos principais desafios, pois os erros numéricos podem afetar significativamente as taxas de decaimento previstas no modelo contínuo. Assim, espera-se estabelecer condições que garantam a convergência e precisão dos métodos numéricos utilizados. Como resultado, a pesquisa pretende avançar significativamente na teoria da estabilização de sistemas hiperbólicos dissipativos e fornecer ferramentas computacionais robustas para sua implementação em problemas reais da engenharia e física aplicada. Nos últimos anos, diversos trabalhos foram publicados tendo como foco principal questões de existência, unicidade e comportamento assintótico das soluções para o problemas modelados por sistemas hiperbólicos dissipativos. Neste sentido, os sistemas do tipo Timoshenko, Poro-elásticos e Bresse com mecanismos de dissipação diversos, são extensivamente analisados na matemática aplicada. O interesse principal está nas propriedades assintóticas das soluções desses sistemas dissipativos, isto é, na verificação de quão eficiente é a dissipação gerada por determinado mecanismo para estabilizar o sistema e na determinação da taxa de decaimento associada. Nesse contexto, investiga-se o comportamento assintótico das soluções para obter um controle efetivo sobre elas, seja um controle exponencial ou polinomial.